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寻找两个有序数组的中位数

运维开发网 https://www.qedev.com 2021-01-12 08:23 出处:51CTO 作者:mb5ff981d806017
题目地址https://leetcode.com/problems/median-of-two-sorted-arrays/题目描述给定两个大小为 m 和 n 的有序数组 nums1 和 nums2。请你找出这两个有序数组的中位数,并且要求算法的时间复杂度为 O(log(m + n))。你可以假设 nums1 和 nums2 不会同时为空。示例 1:nums1 = [1, 3]nums2 = [2

题目地址

https://leetcode.com/problems/median-of-two-sorted-arrays/

题目描述

  1. 给定两个大小为 m 和 n 的有序数组 nums1 和 nums2。

  2. 请你找出这两个有序数组的中位数,并且要求算法的时间复杂度为 O(log(m + n))。

  3. 你可以假设 nums1 和 nums2 不会同时为空。

  4. 示例 1:

  5. nums1 = [1, 3]

  6. nums2 = [2]

  7. 则中位数是 2.0

  8. 示例 2:

  9. nums1 = [1, 2]

  10. nums2 = [3, 4]

  11. 则中位数是 (2 + 3)/2 = 2.5

  12. 来源:力扣(LeetCode)

  13. 链接:https://leetcode-cn.com/problems/median-of-two-sorted-arrays

  14. 著作权归领扣网络所有。商业转载请联系官方授权,非商业转载请注明出处。

思路

首先了解一下Median的概念,一个数组中median就是把数组分成左右等分的中位数。

如下图:

寻找两个有序数组的中位数

这道题,很容易想到暴力解法,时间复杂度和空间复杂度都是 O(m+n), 不符合题中给出 O(log(m+n))时间复杂度的要求。我们可以从简单的解法入手,试了一下,暴力解法也是可以被Leetcode Accept的. 分析中会给出两种解法,暴力求解和二分解法。

解法一 - 暴力 (Brute Force)

暴力解主要是要merge两个排序的数组 (A,B)成一个排序的数组。

用两个 pointer(i,j)i 从数组 A起始位置开始,即 i=0开始, j 从数组 B起始位置, 即 j=0开始.  一一比较 A[i]和B[j],

  1. 如果 A[i]<=B[j], 则把 A[i] 放入新的数组中,i往后移一位,即 i+1.

  2. 如果 A[i]>B[j], 则把 B[j] 放入新的数组中,j往后移一位,即 j+1.

  3. 重复步骤#1 和 #2,直到 i移到 A最后,或者 j移到 B最后。

  4. 如果 j移动到 B数组最后,那么直接把剩下的所有 A依次放入新的数组中.

  5. 如果 i移动到 A数组最后,那么直接把剩下的所有 B依次放入新的数组中.

Merge的过程如下图。

时间复杂度:O(m+n)-mislength of A,nislength of B

空间复杂度:O(m+n)

解法二 - 二分查找 (Binary Search)

由于题中给出的数组都是排好序的,在排好序的数组中查找很容易想到可以用二分查找(Binary Search), 这里对数组长度小的做二分, 保证数组A 和 数组B 做partition 之后

len(Aleft)+len(Bleft)=(m+n+1)/2-m是数组A的长度,n是数组B的长度

对数组A的做partition的位置是区间 [0,m]

如图:

下图给出几种不同情况的例子(注意但左边或者右边没有元素的时候,左边用 INF_MIN,右边用 INF_MAX表示左右的元素:

寻找两个有序数组的中位数

下图给出具体做的partition 解题的例子步骤,

寻找两个有序数组的中位数

时间复杂度:O(log(min(m,n))-mislength of A,nislength of B

空间复杂度:O(1) - 这里没有用额外的空间

关键点分析

  1. 暴力求解,在线性时间内merge两个排好序的数组成一个数组。

  2. 二分查找,关键点在于

  • 要partition两个排好序的数组成左右两等份,partition需要满足 len(Aleft)+len(Bleft)=(m+n+1)/2 - m是数组A的长度, n是数组B的长度

  • 并且partition后 A左边最大( maxLeftA), A右边最小( minRightA), B左边最大( maxLeftB), B右边最小( minRightB) 满足 (maxLeftA <= minRightB && maxLeftB <= minRightA)

有了这两个条件,那么median就在这四个数中,根据奇数或者是偶数,

奇数:median = max(maxLeftA, maxLeftB)偶数:median = (max(maxLeftA, maxLeftB) + min(minRightA, minRightB)) / 2

代码(Java code)

解法一 - 暴力解法(Brute force)

class MedianTwoSortedArrayBruteForce {    public double findMedianSortedArrays(int[] nums1, int[] nums2) {      int[] newArr = mergeTwoSortedArray(nums1, nums2);      int n = newArr.length;      if (n % 2 == 0) {        // even        return (double) (newArr[n / 2] + newArr[n / 2 - 1]) / 2;      } else {        // odd        return (double) newArr[n / 2];      }    }    private int[] mergeTwoSortedArray(int[] nums1, int[] nums2) {      int m = nums1.length;      int n = nums2.length;      int[] res = new int[m + n];      int i = 0;      int j = 0;      int idx = 0;      while (i < m && j < n) {        if (nums1[i] <= nums2[j]) {          res[idx++] = nums1[i++];        } else {          res[idx++] = nums2[j++];        }      }      while (i < m) {        res[idx++] = nums1[i++];      }      while (j < n) {        res[idx++] = nums2[j++];      }      return res;    }}

解法二 - 二分查找(Binary Search

  1. class MedianSortedTwoArrayBinarySearch {

  2.  public static double findMedianSortedArraysBinarySearch(int[] nums1, int[] nums2) {

  3.     // do binary search for shorter length array, make sure time complexity log(min(m,n)).

  4.     if (nums1.length > nums2.length) {

  5.        return findMedianSortedArraysBinarySearch(nums2, nums1);

  6.      }

  7.      int m = nums1.length;

  8.      int n = nums2.length;

  9.      int lo = 0;

  10.      int hi = m;

  11.      while (lo <= hi) {

  12.        // partition A position i

  13.        int i = lo + (hi - lo) / 2;

  14.        // partition B position j

  15.        int j = (m + n + 1) / 2 - i;

  16.        int maxLeftA = i == 0 ? Integer.MIN_VALUE : nums1[i - 1];

  17.        int minRightA = i == m ? Integer.MAX_VALUE : nums1[i];

  18.        int maxLeftB = j == 0 ? Integer.MIN_VALUE : nums2[j - 1];

  19.        int minRightB = j == n ? Integer.MAX_VALUE : nums2[j];

  20.        if (maxLeftA <= minRightB && maxLeftB <= minRightA) {

  21.          // total length is even

  22.          if ((m + n) % 2 == 0) {

  23.            return (double) (Math.max(maxLeftA, maxLeftB) + Math.min(minRightA, minRightB)) / 2;

  24.          } else {

  25.            // total length is odd

  26.            return (double) Math.max(maxLeftA, maxLeftB);

  27.          }

  28.        } else if (maxLeftA > minRightB) {

  29.          // binary search left half

  30.          hi = i - 1;

  31.        } else {

  32.          // binary search right half

  33.          lo = i + 1;

  34.        }

  35.      }

  36.      return 0.0;

  37.    }

  38. }

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