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深入理解约瑟夫环的数学优化方法

运维开发网 https://www.qedev.com 2020-02-12 15:14 出处:网络 作者: 网络整理
本篇文章是对约瑟夫环的数学优化方法进行了详细的分析介绍,需要的朋友参考下
首先,约瑟夫环的数学优化方法为:

为了讨论方便,先把问题稍微改变一下,并不影响原意:问题描述:n个人(编号0~(n-1)),从0开始报数,报到(m-1)的退出,剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。

我们知道第一个人(编号一定是(m-1)%n) 出列之后,剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环(以编号为k=m%n的人开始):      k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2   并且从k开始报0。现在我们把他们的编号做一下转换:

k --> 0   k+1 --> 1   k+2 --> 2

n-1 --> n-1-k     0--> n-k  

        ... ...   

k-3 --> n-3   k-2 --> n-2

序列1: 1, 2, 3, 4, …, n-2, n-1, n

序列2: 1, 2, 3, 4, … k-1, k+1, …, n-2, n-1, n

序列3: k+1, k+2, k+3, …, n-2, n-1, n, 1, 2, 3,…, k-2, k-1   

序列4:1, 2, 3, 4, …, 5, 6, 7, 8, …, n-2, n-1   

变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题,假如我们知道这个子问题的解:例如x是最终的胜利者,那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗?!!变回去的公式很简单,相信大家都可以推出来:

∵ k=m%n;   

∴ x' = x+k = x+ m%n ; 而 x+ m%n 可能大于n

∴x'= (x+ m%n)%n = (x+m)%n   得到 x‘=(x+m)%n

如何知道(n-1)个人报数的问题的解?对,只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢?当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题!好了,思路出来了,下面写递推公式:

令f表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号,最后的结果自然是f[n].

递推公式:   f[1]=0;   f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)

完整的实现代码如下:

复制代码 代码如下:

/*

约瑟夫环递推公式:令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号,最后的结果自然是f[n] 

递推公式  f[1]=0;  f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)

*/

#include "stdio.h"

#include "stdlib.h"

int main(void)

{

 int n, m,i, f[20]={0};

 scanf("%d %d",&n,&m);

    for(i=2;i<=n;i++)

 {

  f[i]=(f[i-1]+m)%i;

  printf("%d个人报数,报到%d的出列,最后的胜者下标为%d\n", i,m,f[i]);

 }

    printf("The winner is %d\n", f[n]+1);

 system("pause");

}

优化后的代码为:

复制代码 代码如下:

#include "stdio.h"

#include "stdlib.h"

int main(void)

{

    int n, m,i, s=0;

 scanf("%d %d",&n,&m);

    for(i=2;i<=n;i++)

 {

  s=(s+m)%i;

 }

    printf("The winner is %d\n", s+1);

 system("pause");

}

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